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Solución trigonométrica de la ecuación de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado o cudráticas son polinomios de la forma: ax^2+bx+c=0 donde a,b son constantes reales que acompañan a la variable y que se conocen como coeficientes, y finalmente c es un número real cualquiera que se denomina termino independiente.

En general, existen muchas maneras de hallar la solución de este tipo de ecuaciones y pues la más común y práctica es a través de la resolvente:

x=( -b +/- (b^2 - 4ac)^0.5 )/2a

Donde b^2 -4ac se denomina discriminante de la ecuación cuadrática. Si el discriminante es mayor o igual a cero se tienen soluciones reales y si es menor a cero tiene raíces complejas conjugadas.

Ahora bien, se presenta una manera poco usual y atractiva para conseguir la solucion de una ecuación de segundo grado a partir de funciones trigonométricas y que además se va a comparar con la formula anterior para así comprobar que se llega a un mismo resultado.

Entonces, se tiene que: sen(2y)=2*sen(y)*cos(y) por una identidad trigonométrica del ángulo doble.

Luego, si se eleva ambos miembros al cuadrado se consigue:

( sen(2y ))^2 = 4*(sen(y))^2*(cos(y))^2

Y cambiando el coseno cuadrado por una identidad trigonométrica: (cos(y))^2=1-(sen(y))^2 

La igualdad toma la forma de:

(sen(2y))^2 =4*(sen(y))^2*(1 - (sen(y))^2)

Distribuyendo, se tiene:

(sen(2y))^2 = 4(sen(y))^2 - 4(sen(y))^4

Pasando los terminos de la derecha de la igualdad al miembro izquierdo:

4(sen(y))^4 - 4(sen(y))^2 + (sen(2y))^2 =0

Como se puede apreciar la igualdad toma la forma de una ecuación de segundo grado disfrazada llamada bicuadrada pero que con un apropiado cambio de variable se puede llevar a una ecuacion de segundo grado.

Por lo tanto, haciendo z= (sen(y))^2 se tiene:

4z^2 -4z + (sen(2y))^2 =0

Se puede observar que tiene la forma pero aún no nos va a permitir incluir un amplio rango de ecuaciones debido a los coeficientes, por ello se aplicará otro artificio matemático.

Entonces, si se multiplica toda la igualdad por un número arbitrario k^2 y se apliacan algunas leyes de potencia se puede reescribir de la siguiente manera:

(2k*z)^2 - 2k(2k*z) + k^2*(sen(2y))^2 =0

Y haciendo otro cambio de variable p=2k*z la ecuacion toma la forma de:

p^2 -2k*p + k^2*(sen(2y))^2 = 0

Luego se compara con la forma general de una ecuación de segundo grado con a=1 (se puede hacer a=1 dividiendo la igualdad por a):

x^2 + (b/a)*x + (c/a) = 0  Entonces se tiene:

 -2k=(b/a)  y  k^2*(sen(2y))^2 = (c/a)

Despejando a k y obteniendo a y se consigue:

k=-b/2a ,   y= 0.5*arcsen( ( -2*(ac)^0.5 )/b)

Luego de regresar los cambios de variable:

z= (sen(y))^2 , p=-(b/a)*z

p=-(b/a)*(sen(y))^2

p=-(b/a)*( sen(  0.5*arcsen( (-2*(ac)^0.5 )/b  ) )^2 ;

Por supuesto, esta sería la solución trigonométrica de la ecuación de segundo grado que tendrá raíces reales si (ac)>0 y es aplicable siempre que el argumento del arcseno en valor absoluto sea menor a 1. 

Nota: Es importante colocar su calculadora en modo grados.

Para conseguir la segunda raíz simplemente se puede valer de la siguiente relación:

x2= c/(a*x1)

Por ejemplo, dada la ecuación x^2 +3x+1=0 halle sus raíces.

Se puede ver que a=1, b=3 y c=1 por lo tanto sustituyendo en la formula de arriba se tiene que:

x1= -(3/1)*( sen(  0.5*arcsen(  (-2*(1*1)^0.5)/3  )  ) )^2

x1=-3*(sen(0.5*arcse(-2/3)))^2

x1=-3*(sen(-20.90515745))^2 =-3*(-0.3568220898)^2

x1=-0.3819660113

Entonces x2=c/(a*x1)=1/(1*-0.3819660113)=-2.618033989

Si se aplica la resolvente se tiene que:

x= (-3+/-(3^2 -4*1*1)^0.5 )/2*1

x=(-3+/-(5)^0.5)/2

Luego x1=(-3+5^0.5)/2=(-3+2.236067977)/2

x1=-0.3819660113

x2=(-3-5^0.5)/2 =(-3-2.236067977)/2

x2=-2.618033989

Con lo cual se comprueba que se obtiene exactamente el mismo resultado.

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Comentarios:

  1. Escrito por anonimo
    Fecha: 2010-09-07 04:01:10

    Me pareció muy util e interesante este articuloo.... Muy buenooo =)

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