¿Qué es la Lógica Proposicional?

La lógica proposicional es una ciencia formal que determina la validez o invalidez de un argumento dentro de determinado sistema formal. Permite establecer leyes y principios válidos para obtener criterios de verdad. Es conocida también como Lógica simbólica, Lógica teorética, Lógica formal o Logística.

Una parte muy importante de la Lógica proposicional corresponde al procedimiento de deducción por medio de reglas de inferencia, tema tratado en otro documento: ¿Qué son las reglas de inferencia?

Para la Lógica proposicional es básico el análisis que se realiza a partir de tablas de verdad, estos consisten en esquemas en forma de tabla que relacionan proposiciones y conectivos lógicos para obtener valores de verdad.

Las proposiciones son los enunciados que enmarcados en un contexto específico, o en una teoría, pueden ser catalogados como falsos o verdaderos. Por ejemplo la expresión "levántate!" no es considerada como proposición por cuanto de ella no podemos afirmar si es falsa o verdadera.

Las proposiciones conforman un conjunto denotado por

Conjunto proposiciones

A cada elemento del conjunto de las proposiciones se le puede asignar un valor único de verdad: falso o verdadero. En la lógica proposicional existe dos maneras de representar los resultados de falso y verdadero: 1=verdadero, 0= falso, o V=verdadero, F=falso.

lógica tabla de verdad con valores de verdad

Estas tablas de verdad permiten combinar con distintos conectivos lógicos para obtener de manera mecánica los valores de verdad resultantes de su análisis.

Operadores o Conectivos Lógicos dentro de la Lógica Proposicional:

Los operadores o conectivos lógicos permiten combinar distintas proposiciones para obtener una nueva proposición, por ejemplo dadas las proposiciones:

p = saldré a patinar al parque

q= tendré mejor estado físico

Se pueden combinar utilizando el conectivo lógico "y" para obtener:

Saldré a patinar al parque y tendré mejor estado físico

Lógica: operador o conectivo de Conjunción: y (Λ)

Este conectivo lógico de conjunción une dos proposiciones, su resultado es verdadero únicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas. La manera formal de expresar la conjunción de las dos proposiciones es pΛq (p y q), y su análisis se realiza en una tabla de verdad así:

Tabla de verdad lógica proposicional con operador lógico de conjunción

La tabla de verdad utiliza una columna para cada proposición en donde se escriben los valores de verdad: 1 para verdadero y 0 para falso (se puede utilizar también la letra V para verdadero y F para falso). Se observa en la última columna el resultado de la conjunción entre las proposiciones p y q; siendo verdadera (1) únicamente cuando las dos proposiciones p y q son verdaderas, de lo contrario su resultado es falso (0).

Lógica: Operador o Conectivo de disyunción: o (ν)

Este operador o conectivo se lee o, que al aplicarlo en las proposiciones p y q conduce a un resultado verdadero cuando una de las dos proposiciones es verdadera o cuando las dos proposiciones son verdaderas, es decir la única posibilidad que el resultado sea falso es cuando ambas proposiciones p y q son falsas. Un ejemplo en el lenguaje común es:

p= salgo a bailar

q= voy al cine

Salgo a bailar o voy al cine

Es decir si se cumple una de las dos proposiciones, o las dos proposiciones el resultado es verdadero. En este sentido si es falso que salgo a bailar y también falso que voy al cine, el resultado final será falso, es decir no se cumplió ningún objetivo. En una tabla de verdad se representa así:

Tabla de verdad lógica proposicional operador de disyunción

Lógica: Operador de negación: no (¬)

Este operador o conectivo de negación hace que una proposición cambie su valor de verdad, de falso pase a verdadero y de verdadero a falso, por ejemplo:

p= voy a estudiar

¬p= no voy a estudiar

En una tabla de verdad:

Tabla de verdad de negación de la proposición p

Lógica: Operador o conectivo condicional: si . . . entonces (→)

Este operador o conectivo condicional en la Lógica aplicado en las proposiciones hace que la proposición ubicada antes del operador sea antecedente y la ubicada después del operador sea el consecuente, por ejemplo:

p=apruebas el curso

q=te regalo un celular

Si apruebas el curso entonces te regalo un celular

Esquemáticamente se expresa: p→q, p (apruebas el curso) es el antecedente y q (te regalo un celular) es el consecuente. El valor de verdad es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en cualquier otra situación el resultado es verdadero. En una tabla de verdad se expresa:

Tabla operador lógico entonces

Lógica: operador o conectivo lógico bicondicional: si y solo si (↔)

Este operador conlleva a que el antecedente y el consecuente tengan el mismo valor de verdad para que su conclusión sea verdadera. Es decir si el antecedente es verdadero el consecuente también debe ser verdadero. Si el antecedente es falso el consecuente también debe ser falso, ejemplo:

p= el agua se está saliendo

q= el tanque tiene un orificio

El agua se está saliendo si y solo si el tanque tiene un orificio.

Si es verdad que el agua se está saliendo debe ser verdad que el tanque tiene un orificio; de otra parte, si es falso que el agua se está saliendo debe también ser falso que el tanque tiene un orificio. En Lógica expresado en una tabla de verdad es:

Tabla de verdad de las proposiciones p y q con el operador bocondicional

Lógica: combinación de conectivos lógicos

La lógica proposicional permite desarrollar procesos combinatorios de los operadores, aumentando la cantidad de proposiciones y de conectivos lógicos, por ejemplo:

p= voy a dormir hasta tarde

q= voy a trabajar

r= compraré una vivienda nueva

Si hacemos la siguiente combinación de proposiciones y operadores:

(pνq)→(¬pΛr)

Se puede expresar en lenguaje común como:

Voy a dormir hasta tarde o voy a trabajar, entonces, no voy a dormir hasta tarde y compraré una vivienda nueva. En una tabla de verdad es:

Tabla de verdad compuesta de operadores lógicos

Lógica: Tautología

La tautología se presenta cuando al verificar los valores de verdad en una tabla, todos los valores obtenidos son verdaderos. Esto permite demostrar leyes o equivalencias lógicas. Por ejemplo la equivalencia conocida como Ley de Morgan:

¬(pνq)≡(¬pΛq)

Se puede demostrar utilizando tabla de verdad. En este caso se reemplaza el signo de equivalencia "≡" por el bicondicional 

¬(pνq)↔(¬pΛq)

El resultado es el siguiente:

Lógica proposicional tabla de verdad Tautología

Lógica: contradicción e indeterminación

Cuando todos los valores de verdad de una tabla resultan falsos se dice que es una contradicción. En el caso en que los resultados contienen valores falsos y verdaderos se trata de una indeterminación

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