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Límite de una función

Los límites, las derivadas, las rectas tangentes a una curva, la pendiente de la recta, la razón de cambio son conceptos correlacionados que apuntan hacia esa parte de las matemáticas conocida como Cálculo diferencial.

El Cálculo se utiliza para resolver, mediante modelos matemáticos, problemas relacionados con razones de cambio o movimiento. En otras palabras analiza casos en los que una variable está cambiando en un lapso de tiempo o período.

Para entender el concepto de forma general es necesario conocer cada uno de los conceptos mencionados:

El concepto de límite:

Es el concepto básico que sustenta las diversas ramas de cálculo. Se fundamenta en el análisis de lo que le sucede a una función cuando se acerca a determinado valor. Por ejemplo:

Si tenemos la función:

gráfica límtes

Se observa :

  • La gráfica de la función y el cuadro anexo, permiten determinar de forma gráfica y numérica el límite de la función cuando x tiende a 2
  • La obtención del límite de forma numérica se hace a partir de la tabla de datos que aparece adjunta al gráfico, y que muestra valores cercanos a 2, menores y mayores. Se observa como en la medida que los valores de x se acercan a 2, los valores de y se acercan a 3
  • De forma gráfica, el límite se obtiene al subir desde 2 hasta la gráfica y girar hacia el eje y en donde se obtiene el valor 3.

La expresión utilizada para límite es:

Expresión para el límite

Y se lee el límite de f(x) cuando x tiende a: a es L.

La función debe tomar valores cada vez más cercanos a a, sin que lleguen a ser exactamente a.

Por lo tanto la respuesta para el ejercicio planteado arriba es:

Expresión para el límite de una función

Y se lee El límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 3.

Límites unilaterales:

Algunas funciones están definidas o determinadas por partes, es decir su dominio lo compone más de una función. Por ejemplo:

Función definida por partes

Para comprender mejor esta función por partes veamos su gráfica:

Gráfica de la función por partes

Es decir la función está compuesta por dos partes, antes de x=1 la gráfica es la de una función cuadrática, y desde x=1 la gráfica corresponde a una función lineal.

Si se quiere obtener el límite cuando x tiende a 1, se observa que la función tiene dos posiciones diferentes, para la parábola (es decir la función cuadrática) el valor de y es de 1, mientras para la recta (es decir la función lineal) el valor de y es de 4. Esto configura lo que se conoce como límite unilateral, es decir el análisis del límite de la función antes de x = 1 (por la izquierda) y el análisis del límite de la función desde x=1 (por la derecha)

La forma convencional para expresar este límite unilateral en su forma general (fondo amarillo a la izquierda), y su expresión equivalente (fondo azul a la derecha), que represente el ejemplo de la función por partes que venimos trabajando es:

Límite unilateral izquierdo

Y se lee El límite izquierdo de la función f(x)  cuando x tiende a 1 es 1. Note el signo menos que aparece en la expresión; dicho signo representa el límite izquierdo de la función por partes.

De forma similar si se analiza el límite de la función por la derecha, su expresión general y el resultado para el ejemplo es:

Definición límite unilateral derecho

Se lee: el límite derecho de la función f(x) cuando x tiende a 1 es 4. Observe el signo más, lo que significa que la función se está analizando desde la derecha del punto x=1, para la función f(x) que en esa parte es f(x) = 3x + 1. Para esa parte de la función el valor de y es 4 cuando x = 1.

Límites que no existen:

No todos los límites existen. Un límite no existe o no está definido cuando:

  • El límite izquierdo de una función es diferente del límite derecho. Un ejemplo de este límite inexistente es la función por partes que venimos trabajando. Se observa que cuando x-->1, el límite izquierdo es 1 mientras el límite derecho es 4. Con lo anterior se puede afirmar que:

Límite que no existe

  • El límite de una función que oscila no está determinado, por lo tanto no existe. Por ejemplo:

Gráfica función oscilante

  • Cuando una función tiene una asíntota horizontal, el límite cuando x tiende al punto en donde está la asíntota se hace indeterminado, por lo tanto no existe: Ejemplo; para la siguiente gráfica, el límite no existe cuando x tiende a 2, es decir al lugar en donde se encuentra la asíntota:

Gráfica de una función con asíntota

Nota importante: el hecho que una función no exista para determinado valor de x no significa que tampoco exista para otro valor de x. Si se analiza para la función de la gráfica anterior, se observa que para x=1 el valor de y es de 1, por lo tanto si existe el límite de la función cuando x tiende a 1.

Unicidad:

Cuando el límite izquierdo y derecho son iguales, se afirma que el límite existe, esto se conoce como unicidad del límite. Por ejemplo en la gráfica anterior, cuando x tiende a 1, por la izquierda, el límite de la función es 1 igual que si se toma el límite derecho de la función. Por lo tanto en ese punto (x =1) hay unicidad del límite.

Propiedades o Leyes de los Límites:

Las propiedades (para algunos también llamadas Leyes de los Límites), permiten resolver los límites de las funciones de forma algebraica. Se pueden resumir en las siguientes:

  1. El límite de una constante c, es igual a la constante.
  2. El límite de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por el límite de la función.
  3. El límite de la suma (o diferencia) de dos funciones es igual a la suma (o diferencia) de los límites de cada función.
  4. El límite de un producto (o cociente) de funciones es igual al producto (o cociente) de los límites de cada función.
  5. El límite de una función elevada a una potencia es igual a todo el límite elevado a dicha potencia.
  6. El límite de la raiz de una función es igual a la raiz del límite.

Uso de las propiedades de los límites:

Las propiedades o leyes de los límites se usan para obtener el límite de una función. La forma más sencilla de obtener el límite es por sustitución directa, es decir reemplazando la variable por el valor que aparece en el límite:

Ejemplo límite de una función

Note que en el ejemplo estamos aplicando la propiedad que aparece en le numeral 4. Ahora procedemos a hacer la sustitución directa, reemplazando a x por 2:

Ejemplo límite por sustitución directa

 

 

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Comentarios:

  1. Escrito por Karla Solis
    Fecha: 2012-01-31 04:57:19

    Muy buen trabajo me ayudo mucho

  2. Escrito por Diana-sama
    Fecha: 2012-05-05 00:21:32

    Gracias por la información, me ayudo un montón :D

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