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Función Exponencial

Definición de la función exponencial, gráficas de la función exponencial, la función exponencial natural, el interés compuesto y continuamente compuesto, las ecuaciones exponenciales y las aplicaciones de la función exponencial hacen parte de este artículo.

Cuando se trata de modelar situaciones en donde aparecen procesos de crecimiento poblacional, cálculo de montos de inversión para interés compuesto, o decaimiento radiactivo entre otros; la forma apropiada de afrontarlo es a través del uso de la Función Exponencial.

Definición de la función exponencial:

definción de la Función Exponencial

En donde a es la base, debe ser mayor que cero (a > 0) y diferente de 1, y la variable X es el exponente de la expresión.

Por ejemplo a partir de la función exponencial:

Evaluación de una función exponencial

Gráficas de la función exponencial:

Para realizar el gráfico de la función exponencial, se elabora un cuadro que permita tabular o calcular f(x) a partir de x.

Por ejemplo para graficar la función del ejemplo anterior:

Tabulación de una función exponencial

Note que para x=0 el valor de f(x) = 1, y para X= 1 el valor de f(x) = 2. Este análisis de constituye en la clave para realizar bosquejos de funciones exponenciales:

  • Para toda función exponencial no desplazada, la gráfica de la función pasará por 1 siempre que x = 0
  • Para toda función exponencial no desplazada, la gráfica de la función siempre pasará por el valor de la base. Por ejemplo si la base es 2 como en el ejemplo gráfico, cuando x= 1 la gráfica se ubica exactamente en b= 2

Para ratificar este concepto, analicemos los siguientes ejemplos gráficos:

funciones exponenciales

Se puede observar:

Para x = 0, las gráficas pasan por Y = 1; para x = 1, la primera gráfica pasa por Y=4 , y Y= 6 para la segunda gráfica (siendo estos valores las bases de las funciónes exponenciales)

Cuando el valor de a se ubica entre 0 y 1, la función es decreciente, por ejemplo:

Grafica Función Exponencial decreciente

Función exponencial natural:

La función exponencial natural tiene como base e. Se define:

función exponencial natural

En muchos casos a la función exponencial natural se le conoce como la función exponencial, cuya base es el número de Euler, tambien conocido como constante de Napier, un número irracional que no puede ser expresado como un número finito de cifras.

Valor aproximado de e = 2,718281828459045235360287471....

Esto significa que la función exponencial en lugar de contar con una base entera, como 2, 3, etc, cuenta en este caso con el número de Euler como base.

Su gráfico es:

Gráfico de la función Exponencial natural

Interés Compuesto:

Mediante el interés compuesto se obtiene el beneficio o capital obtenido de un monto de capital inicial a determinada tasa de interés durante un lapso de tiempo. Su fórmula es:

Fórmula del interés compuesto

En donde S corresponde al capital obtenido, P corresponde al capital  inicial, r es la tasa de interés anual, y n el número de períodos que el interés se capitaliza al año, y finalmente t es el número de años

Interés compuesto contínuo:

Se puede decir que el interés compuesto de forma contínua es como si en cada instante se estuviera haciendo el cálculo de interés de un monto de capital. La expresión para calcularlo está basada en e, el número de Euler, y es:

Interés Compuesto contínuo

En donde S es el capital al final del período; el capital inicial es P, e es el número de Euler, r la tasa anual de interés y t el número de años.

Modelo de crecimiento exponencial

El crecimiento de las poblaciones se rige generalmente por un modelo exponencial, que en su generalidad se semeja mucho a la del interés compuesto de forma contínua:

Modelo de crecimiento exponencial

n(t) es la población en un tiempo t, no es la cantidad de población al comienzo, y r la tasa relativa de crecimiento estimada como una proporción de la población.

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