ESTUDIO DE FUNCIONES: RECTAS Y PARÁBOLAS

  • La siguiente ecuación corresponde a una función lineal o recta: y = 2x + 1

A continuación, tras la explicación, se puede observar su representación gráfica.

Para dibujarla en los ejes de coordenadas, es necesario hacer un estudio previo.

Dominio: el dominio es todos los números reales (-∞,+∞), porque se trata de una función en la que cualquier valor real de x le da sentido.

Rango o recorrido: el rango de una recta siempre es todos los números reales (-∞,+∞), porque se trata de una función en la que cualquier valor real de y le da sentido.

Puntos de corte con los ejes de coordenadas:

-eje Y: si x=0, sustituyendo se obtiene y=2·0+1=1. Por tanto, el punto de corte con el eje Y es (0,1).

-eje X: si y=0, despejando la x, se obtiene 0=2·x+1; 2x=-1; x=-1/2. Por tanto, el punto de corte con el eje X es (-1/2,0).

Crecimiento o decrecimiento: si una recta crece o decrece viene dado por la pendiente. La pendiente en la ecuación de una recta (y=mx+n), es m. En este caso m=2, es decir, m>0. Por tanto, la recta es creciente.

Sólo sería necesario dar algunos valores añadidos a los que ya han sido calculados. Por ejemplo, la siguiente tabla de valores servirá de ayuda:

x   -1   1   2

y   -1   3   5

En conclusión, ya se conocen cinco valores por los que pasa la recta: (-1,-1); (-1/2,0); (0,1); (1,3); (2,5).

  • La siguiente ecuación corresponde a una función cuadrática o parábola: y = x2 – x - 2 (el 2 tras x indica elevado al cuadrado)

Para dibujarla en los ejes de coordenadas, es necesario hacer un estudio previo.

Dominio: el dominio es todos los números reales (-∞,+∞), porque se trata de una función en la que cualquier valor real le da sentido.

Puntos de corte con los ejes de coordenadas:

-eje Y: si x=0, sustituyendo se obtiene y=02-0-2=-2. Por tanto, el punto de corte con el eje Y es (0,-2).

-eje X: si y=0, despejando la x, se obtiene 0= x2–x-2; resolviendo la ecuación de segundo grado a través de la fórmula obtenemos x=-1 y x=2. Por tanto, los puntos de corte con el eje X son (-1,0) y (2,0).

Curvatura: el sentido de la parábola viene dado por el signo del coeficiente de x2(a). En este caso es positivo, lo que indica curvatura hacia arriba: a>0 por lo tanto, U.

Vértice: el vértice de la parábola funciona como mínimo de la misma, porque la curvatura es hacia arriba. Se calculan sus coordenadas:

Vx= -b/2·a = -(-1)/2·1 =1/2

Vy= (1/2)2-1/2-2= 1/4-1/2-2 =-9/4

Por tanto, el vértice está en el punto (1/2,-9/4).

Rango o recorrido: el rango se indica en el eje Y, desde el punto más bajo que ocupa la función, en este caso determinado por el vértice, hasta el más alto. Por tanto, el recorrido es [-9/4,+∞).

Crecimiento o decrecimiento: la parábola es decreciente hasta el vértice y creciente a partir del vértice. Decrece en (-∞,1/2) y crece en (1/2,+∞). Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, al igual que en el caso del dominio, se indican en el eje X.

Sólo sería necesario dar algunos valores añadidos a los que ya han sido calculados. Por ejemplo, la siguiente tabla de valores servirá de ayuda:

x   -2   1   3

y   4   -2   4

En conclusión, ya se conocen siete valores por los que pasa la recta: (-2,4); (-1,0); (0,-2); (1/2,-9/4); (1,-2); (2,0); (3,4).

recta y=2x+1

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