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Cómo sacar una raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número cualquiera x es igual a otro número real k tal que al elevar al cuadrado k, o en otras palabras el producto de k*k sea nuevamente la cantidad sbradical x. Esto es:

x^0.5 = k  luego k*k=k^2= x

Algunas veces es posible que la raíz cuadrada de un número tenga como resultado un número entero, este es el caso, por ejemplo de la raíz cuadrada de 9 que es 3 pues el cuadrado de 3 o 3*3 es igual a 9. Entonces, a estos números que tienen raíces cuadradas exactas se le denominan cuadrados perfectos.

Sin embargo, la mayoría de las veces nos enfrentamos a raíces cuadradas que llamo inexactas o cuyo resultado es un número irracional como la raíz cuadrada de 2 que es aproximadamente 1.4142. Entonces, es ante esta situación que exiten una gran gama de algoritmo que permite su respectivo cálculo.

Aquí se les presenta una forma práctica de obtener rápidamente una buena aproximación de una raíz cuadrada a partir de operaciones matemáticas básicas. También se mostrará la respectiva deducción para así ver de donde proviene este método.

Entonces, se tiene que:  x^0.5 = k. Luego elevando ambos miembros al cuadrado y posteriormente pasando la x al otro lado de la igualdad nos queda:  k^2 - x =0

Ahora si se expresa la ecuación anterior como una función de k se consigue: f(k)= k^2 -x

Después se obtiene la derivada de f(k) que sería:f "(k)= 2k pues la derivada de x es cero porque es una constante y la derivada de una potencia es: (k^n) " =n*k^(n-1) donde n es el exponente.

Entonces, se tiene que toda función se puede expresar como un polinomio de grado infinito, es decir, una serie de taylor siempre que ésta sea continua. Por lo tanto:

f(k)= f(a)+f "(a)(k-a)/1! +f ""(a)(k-a)^2/2! +...   Donde a es número real.

Al truncar la serie de Taylor tomando 2 terminos se tiene que:

f(k)= f(a)+f "(a)(k-a) Luego se hace f(k) igual a cero para conseguir la raíz quedando:

0= f(a)+f "(a)(k-a) Resolviendo para k se consique:

k= a -f(a)/f "(a) (Esta formula se conoce como método de Newton-Raphson)

Después, se evalua en k=a tanto la función como la derivada de f(k) obteniendo:

f(a)= a^2 -x ; f "(a)= 2a Luego substituyendo en la expresión anterior:

k= a -(a^2 -x)/2a  Distribuyendo el signo negativo y dividiendo

cada termino del numerador por 2a queda:

k= a -a/2 + x/2a  Sumando algebraicamente terminos semejantes:

k= a/2 + x/2a . Lo cual se puede reescribir como:

k= (a^2 +x)/2a  . Donde la a sería una aproximación inicial de la raíz cuadrada del número, x es la cantidad subradical y k es una aproximación más cercana a la raíz cuadrada.

Por ejemplo: Obtenga la raíz cuadrada de 3 a partir del método anterior haciendo al menos 3 iteraciones.

Entonces, aqui se tiene que la cantidad subradical es 3 (x=3) y una aproximación inicial pudiera ser 2 ya que el cuadrado de 2 es 4, se acerca a la cantidad subradical, luego a=2.

1 Iteración

Sustituyendo x y a en la formula se tiene: k= (2^2 +3)/2*2

k=(4+3)/4 entonces k=7/4

Ahora para la 2da iteración se toma el valor de k obtenido como la aproximación a.

2 Iteración

k=( (7/4)^2 +3)/2*(7/4)= 2*( 49/16 +3)/7= 97/56

Y aplicando de nuevo el mismo procedimiento para la 3era iteración se consigue:

k= 1.73205081 y luego de obtener la raíz cuadrada de 3 usando una calculadora se tiene: 1.732050808 . Con lo cual se comprueba lo práctico y eficiente del método para obtener raíces cuadradas.

 

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Comentarios:

  1. Escrito por anonimo
    Fecha: 2010-12-02 02:09:44

    gracias yo necitaba saber thank you !!!!!!!!!!!!!!

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